Chọn phương án C.

Từ giả thiết ta có $$\begin{aligned}
\big|z+\overline{z}\big|+\big|z-\overline{z}\big|=6&\Leftrightarrow\big|(a+bi)+(a-bi)\big|+\big|(a+bi)-(a-bi)\big|=6\\
&\Leftrightarrow|2a|+|2b|\cdot|i|=6\\
&\Leftrightarrow|a|+|b|=3\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}-a+b=3 &(a<0,\,b>0)\\ a-b=3 &(a>0,\,b<0)\end{array}\right.\,\,(1)
\end{aligned}$$
Vì $\dfrac{z_1-z_2}{-1+i}=k>0$ nên $\big(a_1-a_2)\big)+\big(b_1-b_2\big)i=-k+ki$.

Suy ra $\begin{cases}
a_1-a_2=-k<0\\
b_1-b_2=k>0
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
a_1<a_2,\,b_1>b_2 &(2)\\
a_1-a_2=-\big(b_1-b_2\big)\Leftrightarrow a_1+b_1=a_2+b_2 &(3)
\end{cases}$

Từ (1) ta có hai trường hợp sau:

• $a_1-b_1=a_2-b_2$: Kết hợp với (3) ta có $a_1=a_2$ (loại).
• $a_1-b_1=-\big(a_2-b_2\big)=-a_2+b_2$: Kết hợp với (3) ta có $a_1=b_2$ và $a_2=b_1$.

Giả sử $\begin{cases}
a_1-b_1=-3\\
a_2-b_2=3
\end{cases}$. Khi đó, nếu đặt $a_1=x$ ta có $b_1=a_1+3=x+3$.
Suy ra $\begin{cases}
z_1=x+(x+3)i\\
z_2=(x+3)+xi.
\end{cases}$.
Vậy $\big|z_1+3i\big|+\big|z_2\big|=\sqrt{x^2+(x+6)^2}+\sqrt{(x+3)^2+x^2}$.

Trong mặt phẳng $Oxy$, xét các điểm $A(0;-6)$, $B(-3;0)$ và $C(x;x)$. Ta có:

• $\overrightarrow{AC}=(x;x+6)\Rightarrow AC=\sqrt{x^2+(x+6)^2}$;
• $\overrightarrow{BC}=(x+3;x)\Rightarrow BC=\sqrt{(x+3)^2+x^2}$;
• $\overrightarrow{AB}=(-3;6)\Rightarrow AB=\sqrt{(-3)^2+6^2}=3\sqrt{5}$

Trong tam giác $ABC$ ta luôn có $$AC+BC\geq AB\Leftrightarrow\sqrt{x^2+(x+6)^2}+\sqrt{(x+3)^2+x^2}\geq3\sqrt{5}.$$
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{x}{x+3}=\dfrac{x+6}{x}\Leftrightarrow x=-2$.