Ngân hàng bài tập
S
Trong không gian $Oxyz$, cho $M(1;2;1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M$ cắt các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A,\,B,\,C$ sao cho $\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
 | $(P)\colon\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{1}=1$ |
 | $(P)\colon x+y+z-4=0$ |
 | $(P)\colon x+2y+3z-8=0$ |
 | $(P)\colon x+2y+z-6=0$ |
1 lời giải
Chọn phương án D.
Giả sử $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$.
Khi đó $(P)\colon\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ và $$\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$$
Vì $M\in(P)$ nên $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=1$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki ta có
$$\begin{array}{lclc}
&\big(1^2+2^2+1^2\big)\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)&\geq&\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\\
\Leftrightarrow&6\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)&\geq&1\\
\Leftrightarrow&\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}&\geq&\dfrac{1}{6}.
\end{array}$$Vậy $\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{1}{6}$, khi $$\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{b}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}}\Leftrightarrow a=2b=c$$
$$\begin{array}{lclc}
&\big(1^2+2^2+1^2\big)\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)&\geq&\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\\
\Leftrightarrow&6\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)&\geq&1\\
\Leftrightarrow&\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}&\geq&\dfrac{1}{6}.
\end{array}$$Vậy $\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{1}{6}$, khi $$\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{b}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}}\Leftrightarrow a=2b=c$$
Chọn $b=1$ ta được $(P)\colon\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{1}+\dfrac{z}{2}=1$ hay $x+2y+z-6=0$.