Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương $a$ và $b$, $\dfrac{1}{a}$ và $\dfrac{1}{b}$ ta có

• $a+b\geq2\sqrt{ab}$ (1)
• $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq\dfrac{2}{\sqrt{ab}}$ (2)

Nhân (1), (2) và (3) ta được
\begin{eqnarray*}
&(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)&\geq2\sqrt{ab}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\\
\Leftrightarrow&(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)&\geq4.
\end{eqnarray*}