Cho các số thực \(a,\,b\). Chứng minh rằng $$(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\geq4.$$

Chứng minh rằng với mọi số dương \(a\), \(b\) ta đều có $$\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{a}}\geq\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

Chứng minh rằng $$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\geq a+b+c$$với \(a,\,b,\,c\geq0\)

Chứng minh rằng $$2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}+4\sqrt[4]{c}\geq9\sqrt[9]{abc}$$

Chứng minh rằng $$(1+a)(1+b)(1+c)\geq\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3$$với \(a,\,b,\,c\geq0\)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq2$ ta đều có $$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{n+n}>\dfrac{13}{24}$$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq2$ ta đều có $$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<2-\dfrac{1}{n}$$

Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(f(x)=(6x+3)(5-2x)\) trên đoạn \(\left[-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right]\).

Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f(x)=\dfrac{4}{x}+\dfrac{x}{1-x}\) trên khoảng \((0;1)\).

Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f(x)=\dfrac{(x+2)(x+8)}{x}\) trên khoảng \((0;+\infty)\).

Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{x+1}\) trên khoảng \((-1;+\infty)\).

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\sqrt{(2x+3)(5-2x)}\) trên đoạn \(\left[-\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}\right]\).

Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f(x)=x+\dfrac{2}{x-1}\) trên khoảng \((1;+\infty)\).

Cho \(a,\,b>0\). Chứng minh rằng $$a^5+b^5\geq a^3b^2+a^2b^3$$

Cho \(a,\,b>0\). Chứng minh rằng $$a^3+b^3\geq a^2b+ab^2$$

Cho \(a+b\geq0\). Chứng minh rằng $$\dfrac{a+b}{2}\leq\sqrt[3]{\dfrac{a^3+b^3}{2}}$$

Chứng minh rằng với mọi \(x\) ta đều có $$x^2+\dfrac{1}{x^2+1}\geq1$$

Chứng minh rằng nếu \(|a|\leq1,\,|b|\leq1\) thì $$|a+b|\leq|1+ab|$$

Cho \(a+b\geq0\). Chứng minh rằng $$\dfrac{a+b}{2}\leq\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$$

Chứng minh rằng $$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$$