Ngân hàng bài tập
Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f(x)=\dfrac{4}{x}+\dfrac{x}{1-x}\) trên khoảng \((0;1)\).
1 lời giải
\(\begin{aligned}f(x)-4&=\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{4}{x}-4\\
&=\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{4-4x}{x}\\
&=\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{4(1-x)}{x}.\end{aligned}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(\dfrac{x}{1-x}\) và \(\dfrac{4(1-x)}{x}\) ta có $$\begin{eqnarray*}
&\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{4(1-x)}{x}&\geq2\sqrt{\dfrac{x}{1-x}\cdot\dfrac{4(1-x)}{x}}\\
\Leftrightarrow&f(x)-4&\geq4\\
\Leftrightarrow&f(x)&\geq8.
\end{eqnarray*}$$
Dấu "=" xảy ra khi $$\begin{eqnarray*}
&\dfrac{x}{1-x}&=\dfrac{4(1-x)}{x}\\
\Leftrightarrow&x^2&=4(1-x)^2=4-8x+4x^2\\
\Leftrightarrow&3x^2-8x+4&=0\\
\Leftrightarrow&x&=\dfrac{2}{3}\qquad(0< x<1)
\end{eqnarray*}$$
&\dfrac{x}{1-x}&=\dfrac{4(1-x)}{x}\\
\Leftrightarrow&x^2&=4(1-x)^2=4-8x+4x^2\\
\Leftrightarrow&3x^2-8x+4&=0\\
\Leftrightarrow&x&=\dfrac{2}{3}\qquad(0< x<1)
\end{eqnarray*}$$
Vậy \(m=8\).