Ngân hàng bài tập
Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{x+1}\) trên khoảng \((-1;+\infty)\).
1 lời giải
\(\begin{aligned}f(x)&=\dfrac{\left(x^2+2x+1\right)+1}{x+1}\\
&=\dfrac{(x+1)^2}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}\\
&=x+1+\dfrac{1}{x+1}.\end{aligned}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(x+1\) và \(\dfrac{1}{x+1}\) ta có $$\begin{eqnarray*}
&(x+1)+\dfrac{1}{x+1}&\geq2\sqrt{(x+1)\cdot\dfrac{1}{x+1}}\\
\Leftrightarrow&(x+1)+\dfrac{1}{x+1}&\geq2\\
\Leftrightarrow&f(x)&\geq2.
\end{eqnarray*}$$
Dấu "=" xảy ra khi $$\begin{eqnarray*}
&(x+1)&=\dfrac{1}{x+1}\\
\Leftrightarrow&(x+1)^2&=1\\
\Leftrightarrow&x+1&=1\qquad(x+1>0)\\
\Leftrightarrow&x&=0.
\end{eqnarray*}$$
&(x+1)&=\dfrac{1}{x+1}\\
\Leftrightarrow&(x+1)^2&=1\\
\Leftrightarrow&x+1&=1\qquad(x+1>0)\\
\Leftrightarrow&x&=0.
\end{eqnarray*}$$
Vậy \(m=2\).