Chứng minh rằng $$(1+a)(1+b)(1+c)\geq\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3$$với \(a,\,b,\,c\geq0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
Suy ra $$\begin{align*}
\text{VT}&=(1+a)(1+b)(1+c)\\
&=1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\\
&\geq1+3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+abc\\
&\geq1^3+3\cdot1^2\cdot\sqrt[3]{abc}+3\cdot1\cdot\sqrt[3]{(abc)^2}+\sqrt[3]{(abc)^3}\\
&\geq\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3
\end{align*}$$