Bất đẳng thức đã cho tương đương với $$\begin{align*}
\dfrac{(a+b)^3}{8}&\leq\dfrac{a^3+b^3}{2}\\
\Leftrightarrow\dfrac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}{8}&\leq\dfrac{4\left(a^3+b^3\right)}{8}\\
\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3&\leq 4a^3+4b^3\\
\Leftrightarrow 3a^2b+3ab^2-3a^3-3b^3&\leq0\\
\Leftrightarrow a^2b-a^3+ab^2-b^3&\leq0\\
\Leftrightarrow a^2(b-a)-b^2(b-a)&\leq0\\
\Leftrightarrow (b-a)\left(a^2-b^2\right)&\leq0\\
\Leftrightarrow (b-a)(a-b)(a+b)&\leq0\\
\Leftrightarrow -(a-b)^2(a+b)&\leq0\tag1
\end{align*}$$

Vì \(\begin{cases}(a-b)^2\geq0\\ a+b\geq0\end{cases}\) nên (1) đúng.
Suy ra bất đẳng thức đã cho cũng đúng.