Theo đề bài ta có $$\begin{cases}|a|\leq1\\ |b|\leq1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a^2\leq1\\ b^2\leq1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-1\leq0\\ b^2-1\leq0\end{cases}$$

Khi đó:
\(|a+b|\leq|1+ab|\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^2\leq(1+ab)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\leq1+2ab+a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-1-a^2b^2\leq0\)
\(\Leftrightarrow a^2-1+b^2(1-a^2)\leq0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-a^2\right)\left(b^2-1\right)\leq0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\geq0\) (đúng)

Vậy bất đăn thức đã cho cũng đúng