Ta có $$\text{VT}=\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 9 số không âm ở vế trái, ta được $$\begin{align*}
\text{VT}&\geq9\sqrt[9]{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{b}\cdot\sqrt[3]{b}\cdot\sqrt[3]{b}\cdot\sqrt[4]{c}\cdot\sqrt[4]{c}\cdot\sqrt[4]{c}\cdot\sqrt[4]{c}}\\
&\geq9\sqrt[9]{abc}
\end{align*}$$