Cho \(a,\,b>0\). Chứng minh rằng $$a^3+b^3\geq a^2b+ab^2$$
Cho \(a+b\geq0\). Chứng minh rằng $$\dfrac{a+b}{2}\leq\sqrt[3]{\dfrac{a^3+b^3}{2}}$$
Chứng minh rằng nếu \(|a|\leq1,\,|b|\leq1\) thì $$|a+b|\leq|1+ab|$$
Cho \(a+b\geq0\). Chứng minh rằng $$\dfrac{a+b}{2}\leq\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$$
Cho các số thực \(a,\,b\). Chứng minh rằng $$(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\geq4.$$
Chứng minh rằng với mọi số dương \(a\), \(b\) ta đều có $$\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{a}}\geq\sqrt{a}+\sqrt{b}$$
Chứng minh rằng $$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$$
Cho các số thực $a,\,b$. Chứng minh rằng $$(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\geq4$$
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq2$ ta đều có $$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{n+n}>\dfrac{13}{24}$$
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq2$ ta đều có $$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<2-\dfrac{1}{n}$$
Chứng minh rằng $$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\geq a+b+c$$với \(a,\,b,\,c\geq0\)
Chứng minh rằng $$2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}+4\sqrt[4]{c}\geq9\sqrt[9]{abc}$$
Chứng minh rằng $$(1+a)(1+b)(1+c)\geq\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3$$với \(a,\,b,\,c\geq0\)
Chứng minh rằng với mọi \(x\) ta đều có $$x^2+\dfrac{1}{x^2+1}\geq1$$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, $SA\perp(ABCD)$ và $2a\sqrt{2}$.
- Chứng minh rằng $BD\perp(SAC)$.
- Tính góc tạo bởi $SC$ và $(SAD)$.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $7.2^{2n-2}+3^{2n-1}$ chia hết cho $5$.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $3^{2n+1}+2^{n+2}$ chia hết cho $7$.
Chứng minh rằng $13^n-1$ chia hết cho $6$, với mọi $n\in\mathbb{N}^*$.
- Giả sử hai hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=f\left(x+1\right)$ đều liên tục trên đoạn $\left[0;2\right]$ và $f\left(0\right)=f\left(2\right)$. Chứng minh phương trình $f\left(x\right)-f\left(x+1\right)=0$ luôn có nghiệm thuộc đoạn $\left[0;1\right]$.
- Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{x+1}$ có đồ thị $\left(\mathscr{C}\right)$. Tìm điểm $M$ thuộc $\left(\mathscr{C}\right)$ sao cho tiếp tuyến của $\left(\mathscr{C}\right)$ tại $M$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
Chứng minh rằng với mọi $n\in\mathbb{N}^*$ ta luôn có $4^n+15n-1$ chia hết cho $9$.