Với $n=1$: $3^{2.1+1}+2^{1+2}=27+8=35$ chia hết cho $7$

Giả sử $3^{2k+1}+2^{k+2}$ chia hết cho $7$, với $k\ge1$.
Ta sẽ chứng minh $3^{2(k+1)+1}+2^{(k+1)+2}=3^{2k+3}+2^{k+3}$ cũng chia hết cho $7$.

Thật vậy:
$3^{2k+3}+2^{k+3}=3^2.3^{2k+1}+2.2^{k+2}$
$3^{2k+3}+2^{k+3}=7.3^{2k+1}+2.3^{2k+1}+2.2^{k+2}$
$3^{2k+3}+2^{k+3}=7.3^{2k+1}+2\left(3^{2k+1}+2^{k+2}\right)$ chia hết cho $7$.

Vậy $3^{2n+1}+2^{n+2}$ chia hết cho $7$, $\forall n\in\mathbb{N}^*$.