Ngân hàng bài tập
A
Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, $SA\perp(ABCD)$ và $2a\sqrt{2}$.
- Chứng minh rằng $BD\perp(SAC)$.
- Tính góc tạo bởi $SC$ và $(SAD)$.
1 lời giải
- Vì $\begin{cases}BD\perp AC\text{ (hình vuông)}\\ BD\perp SA,\,\big(SA\perp(ABCD)\big)\\ AC,SA\subset(SAC)\end{cases}$ nên $BD\perp(SAC)$.
- Vì $\begin{cases}CD\perp AD\text{ (hình vuông)}\\ CD\perp SA,\,\big(SA\perp(ABCD)\big)\\ AD,SA\subset(SAD)\end{cases}$ nên $CD\perp(SAD)$.
Do đó $D$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên mặt phẳng $(SAD)$, hay $SD$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $(SAD)$.
Vậy $\big(SC,(SAD)\big)=(SC,SD)=\widehat{CSD}$.
Xét tam giác vuông $SDC$ ta có $\begin{cases}DC=2a\\ SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=2a\sqrt{3}\end{cases}$
Khi đó $\tan\widehat{CSD}=\dfrac{CD}{SD}=\dfrac{2a}{2a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Suy ra $\widehat{CSD}=30^\circ$.