Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương \(a\) và \(b\), \(\dfrac{1}{a}\) và \(\dfrac{1}{b}\) ta có

• \(a+b\geq2\sqrt{ab}\) (1)
• \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\) (2)

Nhân (1), (2) và (3) ta được $$\begin{eqnarray*}
&(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)&\geq2\sqrt{ab}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\\
\Leftrightarrow&(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)&\geq4.
\end{eqnarray*}$$