Ngân hàng bài tập
A
Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=a$. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A'BC)$ bằng $\dfrac{\sqrt{6}}{3}a$, thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
 | $\dfrac{\sqrt{2}}{6}a^3$ |
 | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a^3$ |
 | $\sqrt{2}a^3$ |
 | $\dfrac{\sqrt{2}}{4}a^3$ |
1 lời giải
Chọn phương án B.
Gọi $AH$ là đường cao của tam giác vuông $A'AB$, khi đó $AH\perp(A'BC)$. Nói cách khác, $\mathrm{d}\big(A,(A'BC)\big)=AH$.
Xét tam giác $A'AB$ vuông tại $A$ ta có $$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AA'^2}+\dfrac{1}{AB^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{6}}{3}a\right)^2}=\dfrac{1}{AA'^2}+\dfrac{1}{a^2}$$
Suy ra $\dfrac{1}{AA'^2}=\dfrac{1}{2a^2}\Rightarrow AA'=a\sqrt{2}$.
Vậy $V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}\cdot AA'=\dfrac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a^3$.