Cho hàm số $y=\dfrac{-x+1}{2x-1}$ có đồ thị $(\mathscr{C})$ và đường thẳng $(d)\colon y=x+m$. Với mọi giá trị thực của $m$ đường thẳng $(d)$ luôn cắt đồ thị $(\mathscr{C})$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Gọi $k_1,\,k_2$ lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với $(\mathscr{C})$ tại $A$ và $B$. Giá trị nhỏ nhất của $T=k_1^{2022}+k_2^{2022}$ bằng
 | $\dfrac{1}{2}$ |
 | $2$ |
 | $\dfrac{2}{3}$ |
 | $1$ |
Chọn phương án B.
Phương trình hoành độ giao điểm: $$\begin{aligned}
\dfrac{-x+1}{2x-1}=x+m&\Leftrightarrow-x+1=(2x-1)(x+m)\,\,\left(x\neq\dfrac{1}{2}\right)\\
&\Leftrightarrow2x^2+2mx-m-1=0 (1).
\end{aligned}$$
Ta có $\Delta'=m^2+2m+2>0$, $\forall m$.
Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$.
x_1+x_2=-m\\
x_1\cdot x_2=-\dfrac{m+1}{2}.
\end{cases}$
Ta có $y'=\dfrac{-1}{(2x-1)^2}$. Theo đề bài thì $\begin{cases}
k_1=y'\big(x_1\big)\\ k_2=y'\big(x_2\big).
\end{cases}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm $k_1^{2022}$ và $k_2^{2022}$ ta có $$\begin{aligned}
T=k_1^{2022}+k_2^{2022}&\geq2\sqrt{k_1^{2022}\cdot k_2^{2022}}\\
&=2\big(k_1\cdot k_2\big)^{1011}\\
&=2\left(y'\big(x_1\big)\cdot y'\big(x_2\big)\right)^{1011}\\
&=2\left(\dfrac{-1}{(2x_1-1)^2}\cdot\dfrac{-1}{(2x_2-1)^2}\right)^{1011}\\
&=2\left(\dfrac{1}{4x_1x_2-2\big(x_1+x_2\big)+1}\right)^{2022}\\
&=2\left(\dfrac{1}{-2(m+1)+2m+1}\right)^{2022}\\
&=2.
\end{aligned}$$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ bằng $2$.