Chọn phương án C.

$\begin{array}{lll}
&\log_{\sqrt{2}}\big(mx-6x^3\big)+2\log_{\tfrac{1}{2}}\big(-14x^2+29x-2\big)&=0\\
\Leftrightarrow&2\log_2\big(mx-6x^3\big)-2\log_2\big(-14x^2+29x-2\big)&=0\\
\Leftrightarrow&\log_2\big(mx-6x^3\big)=\log_2\big(-14x^2+29x-2\big)\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
-14x^2+29x-2>0\\
mx-6x^3=-14x^2+29x-2
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
x\in\left(\dfrac{1}{14};2\right)\\
m=6x^2-14x+29-\dfrac{2}{x}.
\end{cases}
\end{array}$

Xét hàm số $f(x)=6x^2-14x+29-\dfrac{2}{x}$.
Ta có $f'(x)=12x-14+\dfrac{2}{x^2}$.
Cho $\begin{aligned}[t]
f'(x)=0&\Leftrightarrow12x-14+\dfrac{2}{x^2}=0\\
&\Leftrightarrow12x^3-14x^2+2=0\\
&\Leftrightarrow(x-1)\big(6x^2-x-1\big)=0\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}x=1 &\text{(nhận)}\\ x=\dfrac{1}{2} &\text{(nhận)}\\ x=-\dfrac{1}{3} &\text{(loại)}\end{array}\right.
\end{aligned}$

Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị $f(x)$ tại một điểm duy nhất. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $m\in\left(\dfrac{3}{98};19\right)\cup\left(\dfrac{39}{2};24\right)$.

Vì $m\in\mathbb{Z}$ nên $m\in\{1;2;\ldots;18;20;21;22;23\}$, tức là có $22$ giá trị nguyên $m$ thỏa đề.