Ngân hàng bài tập
S
Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn $(O,3)$ và $(O',3)$. Biết rằng tồn tại dây cung $AB$ thuộc đường tròn $(O)$ sao cho $\triangle O'AB$ là tam giác đều và mặt phẳng $(O'AB)$ hợp với đáy chứa đường tròn $(O)$ một góc $60^\circ$. Tính diện tích xung quanh $S_{\text{xq}}$ của hình nón có đỉnh $O'$, đáy là hình tròn $(O,3)$.
 | $S_{\text{xq}}=\dfrac{54\pi\sqrt{7}}{7}$ |
 | $S_{\text{xq}}=\dfrac{81\pi\sqrt{7}}{7}$ |
 | $S_{\text{xq}}=\dfrac{27\pi\sqrt{7}}{7}$ |
 | $S_{\text{xq}}=\dfrac{36\pi\sqrt{7}}{7}$ |
1 lời giải
Chọn phương án D.
Gọi $I$ là trung điểm của dây cung $AB$, ta có
- $OI\perp AB$
- $\begin{cases}OO'\perp AB\\ OI\perp AB\end{cases}\Rightarrow O'I\perp AB$
- $(OAB)\cap(O'AB)=AB$
Do đó $\big((OAB),(O'AB)\big)=(OI,O'I)=\widehat{OIO'}=60^\circ$.
Giả sử $OI=x\in(0;3)$. Khi đó
- $\triangle OO'I$ vuông tại $O$. Suy ra $OO'=OI\cdot\tan\widehat{OIO'}=x\sqrt{3}$.
- $\triangle OAI$ vuông tại $I$. Suy ra $AI=\sqrt{OA^2-OI^2}=\sqrt{9-x^2}$.
- $\triangle O'AB$ đều nên $O'A=AB=2AI=2\sqrt{9-x^2}$.
- $\triangle OO'A$ vuông tại $O$. Suy ra $$\begin{aligned}O'A^2=OA^2+OO'^2&\Leftrightarrow4\big(9-x^2\big)=9+3x^2\\ &\Leftrightarrow7x^2-27=0\\ &\Leftrightarrow x=\dfrac{3\sqrt{21}}{7}.\end{aligned}$$
Vậy $\ell=O'A=2\sqrt{9-x^2}=\dfrac{12\sqrt{7}}{7}$.
Suy ra $S_{\text{xq}}=\pi\cdot OA\cdot\ell=\dfrac{36\pi\sqrt{7}}{7}$.