Chọn phương án A.

Đặt tứ diện đã cho vào hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho $A\in Oz$, $B\in Oy$, $C\in Ox$ với $a=1$. Theo đó ta có $O(0;0;0)$, $A(0;0;1)$, $B(0;1;0)$, $C(1;0;0)$, $D\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{OD}=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)$, $\overrightarrow{AB}=(0;1;-1)$ và $\overrightarrow{OA}=(0;0;1)$. Do đó $$\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{OD},\overrightarrow{AB}\right]\cdot\overrightarrow{OA}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{OD},\overrightarrow{AB}\right]\right|}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
Vậy $\mathrm{d}(OD,AB)=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.

Chọn phương án A.

Vì $OD\perp BD$ và $OD=BD$ nên ta dựng hình vuông $ODBE$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $AE$.

Ta có $OD\parallel BE\Rightarrow OD\parallel\left(ABE\right)$.

Suy ra $\mathrm{d}\left(OD,AB\right)=\mathrm{d}\left(O,\left(ABE\right)\right)$.

Vì $\begin{cases}
BE\perp OE\\
BE\perp OA
\end{cases}\Rightarrow BE\perp OH\Rightarrow OH\perp\left(ABE\right)$.

Do đó $\mathrm{d}\left(O,\left(ABE\right)\right)=OH=\dfrac{OA\cdot OE}{AE}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.