Ngân hàng bài tập
SSS
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)\colon4x-3y-1=0$ và hai điểm $A(3;-3;-1)$, $B(9;5;-1)$. Gọi $M$ là điểm thay đổi nằm trên mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác $ABM$ vuông tại $M$. Gọi $S_1,\,S_2$ tương ứng là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $MAB$. Tính giá trị biểu thức $T=S_2-S_1$.
 | $T=5$ |
 | $T=45$ |
 | $T=1$ |
 | $T=10$ |
1 lời giải
Chọn phương án A.
Ta có $\overrightarrow{AB}=(6;8;0)$ và $4\cdot6-3\cdot8=0$, tức là $AB\parallel(P)$.
Vì $\triangle ABM$ vuông tại $M$ nên điểm $M$ thuộc mặt cầu đường kính $AB$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đoạn $AB$, ta có $S_{ABM}=\dfrac{1}{2}AB\cdot MH$.
Vì đoạn $AB$ cố định nên diện tích $\triangle MAB$ phụ thuộc vào giá trị của $MH$.
- Vì $M$ nằm trên mặt cầu đường kính $AB$ nên $$\max_{MH}=R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{10}{2}=5$$
- Vì $M\in(P)$ và $AB\parallel(P)$ nên $$\min_{MH}=\mathrm{d}\big(A,(P)\big)=\dfrac{|4\cdot3-3\cdot(-3)-1|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=4$$
Vậy $T=\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot5-\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot4=5$.