Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(-2;-2;1)$, $A(1;2;-3)$ và đường thẳng $d\colon\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Gọi $\overrightarrow{u}=(1;a;b)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $d$ đồng thời cách điểm $A$ một khoảng nhỏ nhất. Giá trị của $a+2b$ là
 | $1$ |
 | $2$ |
 | $3$ |
 | $4$ |
Chọn phương án D.
Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d$. Khi đó $$(\alpha)\colon2(x+2)+2(y+2)-(z-1)=0\Leftrightarrow2x+2y-z+9=0.$$
Vì $\Delta$ đi qua $M$ và vuông góc với $d$ nên $\Delta\subset(\alpha)$. Để $\Delta$ cách $A$ một khoảng nhỏ nhất thì $\Delta$ đi qua hình chiếu $B$ của $A$ trên mặt phẳng $(\alpha)$.
Gọi $d'$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(\alpha)$. Khi đó $d'\colon\begin{cases}
x=1+2t\\ y=2+2t\\ z=-3-t.
\end{cases}$
Thay vào $(\alpha)$ ta được $$\begin{aligned}
&2(1+2t)+2(2+2t)-(-3-t)+9=0\\
\Leftrightarrow&9t+18=0\Leftrightarrow t=-2.
\end{aligned}$$
Suy ra $\begin{cases}
x=1+2\cdot(-2)=-3\\ y=2+2\cdot(-2)=-2\\ z=-3-(-2)=-1
\end{cases}\Rightarrow B(-3;-2;-1)$.
Khi đó $\overrightarrow{BM}=(1;0;2)$, tức là $a=0$, $b=2$. Vậy $a+2b=4$.