Vì các cạnh $AB,\,AD,\,AS$ đôi một vuông góc nên ta đặt hình chóp đã cho vào hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A\equiv O(0;0;0)$, $B\in Ox$, $D\in Oy$, $S\in Oz$.

Xem $a=1$ (đơn vị), ta được $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $S(0;0;2)$, $C(1;1;0)$.

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho có dạng $$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\;(1)$$
Thay tọa độ các điểm $A$, $B$, $D$, $S$ vào (1), ta được hệ phương trình $$\begin{cases}
d&=0\\ 1-2a&=0\\ 1-2b&=0\\ 4-4c&=0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
a=b&=\dfrac{1}{2}\\ c&=1\\ d&=0
\end{cases}$$
Khi đó $R=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+1^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có diện tích bằng $$S=4\pi R^2=4\pi\cdot\dfrac{6a^2}{4}=6a^2.$$

Gọi $I,\,O$ lần lượt là trung điểm $AC,\,SC$.

Vì $OI$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $OI\parallel SA$. Lại vì $SA\perp(ABCD)$ nên suy ra $OI\perp(ABCD)$.

Do đó, $OI$ là trục của hình vuông $ABCD$ và $OA=OB=OC=OD$ (1).

Ngoài ra, vì $\triangle SAC$ vuông tại $A$ nên $OA=OS=OC$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp và bán kính $$R=OA=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{\sqrt{(2a)^2+\left(a\sqrt{2}\right)^2}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$$
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có diện tích bằng $$S=4\pi R^2=4\pi\cdot\dfrac{6a^2}{4}=6a^2.$$