Chọn phương án D.

Nhận thấy đây là đồ thị của hàm số bậc $3$ với hai điểm cực trị $x_1,\,x_2$ cách nhau $2$ đơn vị. Giả sử $x_1=1$, $x_2=3$ và $f(2)=0$. Khi đó
$$f'(x)=3(x-1)(x-3)=3x^2-12x+9\Rightarrow f(x)=x^3-6x^2+9x+d$$
Với $f(2)=0$ thì $0=2+d\Rightarrow d=-2$. Vậy $f(x)=x^3-6x^2+9x-2$.

Rõ ràng $f(2)+f(-2)=2-2=0$ nên $f(x)=x^3-6x^2+9x-2$ thỏa dữ kiện đề bài. Khi đó

• $S_2=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\big(x^3-6x^2+9x-2\big)\mathrm{\,d}x=\dfrac{5}{4}$
• $S_1=2\cdot1-S_2=\dfrac{3}{4}$

Vậy $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{3}{5}$.

Chọn phương án D.

Nhận xét: Kết quả của bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị hàm số.

Tịnh tiến đồ thị $f(x)$ theo trục hoành sao cho $x_1$ và $x_2$ đối xứng nhau qua $O$, tức là $x_1=-1$, $x_2=1$.

Vì đồ thị (sau khi tịnh tiến) đối xứng qua gốc tọa độ nên $f(x)$ là hàm số lẻ, tức là $f(x)=ax^3+bx$.

Mặt khác, vì $x_1,\,x_2$ là hai điểm cực trị của hàm số nên $$f'(x)=3k\left(x^2-1\right)\Rightarrow f(x)=k\left(x^3-3x\right)+C$$
Vì $f(0)=0$ nên $C=0$, hay $f(x)=k\left(x^3-3x\right)$.

Hình chữ nhật hợp bởi $S_1$ và $S_2$ có chiều rộng bằng $|-1|=1$ và chiều dài bằng $f(-1)=k\left((-1)^3-3(-1)\right)=2k$, nên có diện tích bằng $S_1+S_2=1\cdot2k=2k$.

Ngoài ra, $S_2=\displaystyle\int\limits_{-1}^{0}k\left(x^3-3x\right)\mathrm{\,d}x=k\left(\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{3x^2}{2}\right)\bigg|_{-1}^0=\dfrac{5k}{4}$.

Do đó, $S_1=2k-\dfrac{5k}{4}=\dfrac{3k}{4}$.

Vậy tỉ số $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\dfrac{3k}{4}}{\dfrac{5k}{4}}=\dfrac{3}{5}$.