Xét các số thực dương \(a,\,b,\,x,\,y\) thỏa mãn \(a>1,\,b>1\) và \(a^x=b^y=\sqrt{ab}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x+2y\) thuộc tập hợp nào dưới đây?
 | \(\left(1;2\right)\) |
 | \(\left[2;\dfrac{5}{2}\right)\) |
 | \(\left[3;4\right)\) |
 | \(\left[\dfrac{5}{2};3\right)\) |
Chọn phương án D.
Ta có \(a,\,b>1\) và \(x,\,y>0\) nên \(a^x,\,b^y,\,\sqrt{ab}>1\).
Do đó $$\begin{aligned}
a^x=b^y=\sqrt{ab}\Leftrightarrow&\begin{cases}
\log_aa^x=\log_a\sqrt{ab} \\
\log_ab^y=\log_a\sqrt{ab} \\
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\log_ab \\
y\log_ab=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\log_ab
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\log_ab\\
2y=1+\log_ba.
\end{cases}
\end{aligned}$$
Khi đó ta có \(P=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\log_ab+\log_ba\).
Lại vì \(a,\,b>1\) nên \(\log_ab,\,\log_ba>0\).
Vậy theo BĐT Cauchy ta có $$P\geq\dfrac{3}{2}+2\sqrt{\dfrac{1}{2}\log_ab\cdot\log_ba}=\dfrac{3}{2}+\sqrt{2}.$$
Vậy \(\min P=\dfrac{3}{2}+\sqrt{2}\in\left[\dfrac{5}{2};3\right)\).