Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=3$, $AD=4$. Biết đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc tạo bởi đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
 | $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ |
 | $\dfrac{5}{2}$ |
 | $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ |
 | $\dfrac{5}{3}$ |
Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ (tham khảo hình vẽ).
Biết thể tích của khối chóp $S.ABC$ là $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$ và góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc nhọn $\alpha$. Chọn phát biểu đúng.
| $\alpha=60^{\circ}$ |
| $\alpha=45^{\circ}$ |
| $\alpha=30^{\circ}$ |
| $\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=3$, $AD=4$. Biết đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc tạo bởi đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
| $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ |
| $\dfrac{5}{2}$ |
| $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ |
| $\dfrac{5}{3}$ |
Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ và $SA=2a$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên đáy là điểm $H$ trên cạnh $AC$ sao cho $AH=\dfrac{2}{3}AC$; mặt phẳng $(SBC)$ tạo với đáy một góc $60^{\circ}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{48}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{36}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{24}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng $45^\circ$ (tham khảo hình bên).
Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
| $\dfrac{a^3}{8}$ |
| $\dfrac{3a^3}{8}$ |
| $\dfrac{\sqrt{3}a^3}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{4}$ |
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA=2a\) và vuông góc với mặt đáy. Gọi \(M,\,N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên các đường thẳng \(SB\), \(SC\).
Tính thể tích của khối chóp \(A.BCNM\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA=a\sqrt{3}\) và vuông góc với mặt đáy. Tính:
- Thể tích của khối chóp
- Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\).
Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a\sqrt{3}$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Biết rằng thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\sqrt{3}a^3$. Tính độ dài cạnh $SA$.
| $2a\sqrt{3}$ |
| $\sqrt{3}$ |
| $2a$ |
| $a$ |
Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và $SA=a$. Biết rằng thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\sqrt{3}a^3$. Tính độ dài cạnh đáy của khối chóp $S.ABC$.
| $2a\sqrt{3}$ |
| $3a\sqrt{3}$ |
| $2a$ |
| $2a\sqrt{2}$ |
Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn $(O,3)$ và $(O',3)$. Biết rằng tồn tại dây cung $AB$ thuộc đường tròn $(O)$ sao cho $\triangle O'AB$ là tam giác đều và mặt phẳng $(O'AB)$ hợp với đáy chứa đường tròn $(O)$ một góc $60^\circ$. Tính diện tích xung quanh $S_{\text{xq}}$ của hình nón có đỉnh $O'$, đáy là hình tròn $(O,3)$.
| $S_{\text{xq}}=\dfrac{54\pi\sqrt{7}}{7}$ |
| $S_{\text{xq}}=\dfrac{81\pi\sqrt{7}}{7}$ |
| $S_{\text{xq}}=\dfrac{27\pi\sqrt{7}}{7}$ |
| $S_{\text{xq}}=\dfrac{36\pi\sqrt{7}}{7}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=30^\circ$. Tam giác $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
| $\dfrac{3a^3}{16}$ |
| $\dfrac{a^3}{16}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{16}$ |
| $\dfrac{3\sqrt{3}a^3}{16}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SB$ tạo với mặt đáy một góc $60^\circ$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $BC$. Thể tích khối chóp $A.SCNM$ bằng
| $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^3$ |
| $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^3$ |
| $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^3$ |
| $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^3$ |
Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=2$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=3$ (tham khảo hình bên).
Thể tích khối chóp đã cho bằng
| $12$ |
| $2$ |
| $6$ |
| $4$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{18}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{8}$ |
| $\dfrac{a^3}{6}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ trên cạnh $AC$ thỏa mãn $AH=\dfrac{2}{3}AC$. Đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc bằng $60^\circ$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{9}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{2}}{9}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và có $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$. Mặt bên $(SAB)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}$ |
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{4}$ |
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$ |
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{3}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Mặt bên $(SAB)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
| $V=\dfrac{a^3}{24}$ |
| $V=\dfrac{a^3}{4}$ |
| $V=\dfrac{3a^3}{8}$ |
| $V=\dfrac{a^3}{8}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cận tại $B$ và $BC=a$. Cạnh bên $SA=2a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
| $V=a^3$ |
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$ |
| $V=\dfrac{a^3}{3}$ |
| $V=\dfrac{2a^3}{3}$ |