Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ trên cạnh $AC$ thỏa mãn $AH=\dfrac{2}{3}AC$. Đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc bằng $60^\circ$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
 | $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$ |
 | $\dfrac{a^3}{12}$ |
 | $\dfrac{a^3}{9}$ |
 | $\dfrac{a^3\sqrt{2}}{9}$ |
Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ (tham khảo hình vẽ).
Biết thể tích của khối chóp $S.ABC$ là $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$ và góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc nhọn $\alpha$. Chọn phát biểu đúng.
| $\alpha=60^{\circ}$ |
| $\alpha=45^{\circ}$ |
| $\alpha=30^{\circ}$ |
| $\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$, hình chiếu của $A'$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm cạnh $BC$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $(ABA')$ và $(ABC)$ bằng $45^\circ$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng
| $\dfrac{3}{2}a^3$ |
| $\dfrac{1}{2}a^3$ |
| $2\sqrt{3}a^3$ |
| $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a^3$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ trên cạnh $AC$ thỏa mãn $AH=\dfrac{2}{3}AC$. Đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc bằng $60^\circ$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{9}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{2}}{9}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng $45^\circ$ (tham khảo hình bên).
Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
| $\dfrac{a^3}{8}$ |
| $\dfrac{3a^3}{8}$ |
| $\dfrac{\sqrt{3}a^3}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{4}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=30^\circ$. Tam giác $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
| $\dfrac{3a^3}{16}$ |
| $\dfrac{a^3}{16}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{16}$ |
| $\dfrac{3\sqrt{3}a^3}{16}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SB$ tạo với mặt đáy một góc $60^\circ$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $BC$. Thể tích khối chóp $A.SCNM$ bằng
| $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^3$ |
| $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^3$ |
| $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^3$ |
| $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^3$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{18}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{8}$ |
| $\dfrac{a^3}{6}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và có $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$. Mặt bên $(SAB)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}$ |
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{4}$ |
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$ |
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{3}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Mặt bên $(SAB)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
| $V=\dfrac{a^3}{24}$ |
| $V=\dfrac{a^3}{4}$ |
| $V=\dfrac{3a^3}{8}$ |
| $V=\dfrac{a^3}{8}$ |
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA=2a\) và vuông góc với mặt đáy. Gọi \(M,\,N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên các đường thẳng \(SB\), \(SC\).
Tính thể tích của khối chóp \(A.BCNM\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA=a\sqrt{3}\) và vuông góc với mặt đáy. Tính:
- Thể tích của khối chóp
- Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\).
Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a\sqrt{3}$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Biết rằng thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\sqrt{3}a^3$. Tính độ dài cạnh $SA$.
| $2a\sqrt{3}$ |
| $\sqrt{3}$ |
| $2a$ |
| $a$ |
Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a$ và thể tích bằng $a^3$. Tính chiều cao $h$ của hình chóp đã cho.
| $h=\dfrac{\sqrt{3}a}{6}$ |
| $h=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$ |
| $h=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}$ |
| $h=\sqrt{3}a$ |
Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và $SA=a$. Biết rằng thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\sqrt{3}a^3$. Tính độ dài cạnh đáy của khối chóp $S.ABC$.
| $2a\sqrt{3}$ |
| $3a\sqrt{3}$ |
| $2a$ |
| $2a\sqrt{2}$ |
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(4a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng \(\left(SBC\right)\) và mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ\). Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng
| \(\dfrac{172\pi a^2}{3}\) |
| \(\dfrac{76\pi a^2}{3}\) |
| \(84\pi a^2\) |
| \(\dfrac{172\pi a^2}{9}\) |
Cho hình chóp $S.ABC$ có góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy bằng nhau. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt đáy. Phát biểu nào sau đây đúng nhất?
| $S.ABC$ là hình chóp đều |
| $H$ là trực tâm của $\triangle ABC$ |
| $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ |
| $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ |
Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên hợp với đáy một góc $60^\circ$. Gọi $M$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$, $N$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng $(BMN)$ chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính thể tích $V$ của khối đa diện chứa đỉnh $C$.
| $V=\dfrac{7\sqrt{6}a^3}{72}$ |
| $V=\dfrac{7\sqrt{6}a^3}{36}$ |
| $V=\dfrac{5\sqrt{6}a^3}{36}$ |
| $V=\dfrac{5\sqrt{6}a^3}{72}$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và có thể tích bằng $1$. Trên cạnh $SC$ lấy điểm $E$ sao cho $SE=2EC$. Tính thể tích $V$ của khối tứ diện $SEBD$.
| $V=\dfrac{1}{12}$ |
| $V=\dfrac{1}{3}$ |
| $V=\dfrac{1}{6}$ |
| $V=\dfrac{2}{3}$ |
Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $SA=SB=SC=AC=a$, $SB$ tạo với mặt phẳng $(SAC)$ một góc $30^\circ$. Thể tích khối chóp đã cho bằng
| $\dfrac{a^3}{4}$ |
| $\dfrac{a^3}{8}$ |
| $\dfrac{\sqrt{3}a^3}{12}$ |
| $\dfrac{\sqrt{3}a^3}{24}$ |