Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên đáy là điểm $H$ trên cạnh $AC$ sao cho $AH=\dfrac{2}{3}AC$; mặt phẳng $(SBC)$ tạo với đáy một góc $60^{\circ}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
 | $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$ |
 | $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{48}$ |
 | $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{36}$ |
 | $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{24}$ |
Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=\sqrt{6}$, $AD=\sqrt{3}$, $A'C=3$ và mặt phẳng $\left(AA'C'C\right)$ vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng $\left(AA'C'C\right)$, $\left(AA'B'B\right)$ tạo với nhau góc $\alpha$ thỏa mãn $\tan\alpha =\dfrac{3}{4}$. Thể tích khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ bằng
| $V=6$ |
| $V=8$ |
| $V=12$ |
| $V=10$ |
Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy hình vuông. $BD=2a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left(A'BD\right)$ và $(ABCD)$ bằng $30^\circ$. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
| $6\sqrt{3}a^3$ |
| $\dfrac{2\sqrt{3}}{9}a^3$ |
| $2\sqrt{3}a^3$ |
| $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a^3$ |
Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ (tham khảo hình vẽ).
Biết thể tích của khối chóp $S.ABC$ là $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$ và góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc nhọn $\alpha$. Chọn phát biểu đúng.
| $\alpha=60^{\circ}$ |
| $\alpha=45^{\circ}$ |
| $\alpha=30^{\circ}$ |
| $\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $2a$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $BC$ và $A'H=a\sqrt{3}$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$.
| $V=3a^3$ |
| $V=a^3$ |
| $V=\dfrac{3a^3}{4}$ |
| $V=\dfrac{3a^3}{2}$ |
Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên hợp với đáy một góc $60^\circ$. Gọi $M$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$, $N$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng $(BMN)$ chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính thể tích $V$ của khối đa diện chứa đỉnh $C$.
| $V=\dfrac{7\sqrt{6}a^3}{72}$ |
| $V=\dfrac{7\sqrt{6}a^3}{36}$ |
| $V=\dfrac{5\sqrt{6}a^3}{36}$ |
| $V=\dfrac{5\sqrt{6}a^3}{72}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ trên cạnh $AC$ thỏa mãn $AH=\dfrac{2}{3}AC$. Đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc bằng $60^\circ$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{9}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{2}}{9}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SB$ tạo với mặt đáy một góc $60^\circ$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $BC$. Thể tích khối chóp $A.SCNM$ bằng
| $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^3$ |
| $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^3$ |
| $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^3$ |
| $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^3$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ trên cạnh $AC$ thỏa mãn $AH=\dfrac{2}{3}AC$. Đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc bằng $60^\circ$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{9}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{2}}{9}$ |
Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=2a$. Góc giữa đường thẳng $BC'$ và mặt phẳng $(ACC'A')$ bằng $30^\circ$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
| $3a^3$ |
| $a^3$ |
| $12\sqrt{2}a^3$ |
| $4\sqrt{2}a^3$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng $45^\circ$ (tham khảo hình bên).
Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
| $\dfrac{a^3}{8}$ |
| $\dfrac{3a^3}{8}$ |
| $\dfrac{\sqrt{3}a^3}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{4}$ |
Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và thể tích của khối lăng trụ bằng $2\sqrt{3}$. Tính cạnh của khối lăng trụ.
| $6$ |
| $4$ |
| $3$ |
| $2$ |
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(BD=a\sqrt{3}\), \(AA'=4a\) (minh họa như hình trên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
| \(2\sqrt{3}a^3\) |
| \(4\sqrt{3}a^3\) |
| \(\dfrac{2\sqrt{3}a^3}{3}\) |
| \(\dfrac{4\sqrt{3}a^3}{3}\) |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=30^\circ$. Tam giác $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
| $\dfrac{3a^3}{16}$ |
| $\dfrac{a^3}{16}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{16}$ |
| $\dfrac{3\sqrt{3}a^3}{16}$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và có thể tích bằng $1$. Trên cạnh $SC$ lấy điểm $E$ sao cho $SE=2EC$. Tính thể tích $V$ của khối tứ diện $SEBD$.
| $V=\dfrac{1}{12}$ |
| $V=\dfrac{1}{3}$ |
| $V=\dfrac{1}{6}$ |
| $V=\dfrac{2}{3}$ |
Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh $a$ và chiều cao bằng $4a$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
| $\dfrac{16}{3}a^3$ |
| $16a^3$ |
| $4a^3$ |
| $\dfrac{4}{3}a^3$ |
Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=a$, $AD=\sqrt{2}a$, $AA'=2a$. Thể tích khối hộp đã cho bằng
| $4a^3$ |
| $2\sqrt{2}a^3$ |
| $\sqrt{2}a^3$ |
| $2a^3$ |
Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=BC=a$ và $AA'=6a$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng
| $6a^3$ |
| $2a^3$ |
| $3a^3$ |
| $a^3$ |
Thể tích khối lăng trụ có chiều cao là $h$ và diện tích đáy là $B$ bằng
| $Bh$ |
| $\dfrac{1}{3}Bh$ |
| $3Bh$ |
| $\dfrac{4}{3}Bh$ |
Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M$ là trung điểm của $BB'$. Mặt phẳng $(MDC')$ chia khối hộp chữ nhật thành hai khối đa diện, một khối chứa đỉnh $C$ và một khối chứa đỉnh $A'$. Gọi $V_1,\,V_2$ lần lượt là thể tích hai khối đa diện chứa $C$ và $A'$. Tỉ số $\dfrac{V_1}{V_2}$ bằng
| $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{7}{17}$ |
| $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{7}{24}$ |
| $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{17}{24}$ |
| $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{7}{12}$ |