Chọn phương án B.

Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AB$. Vì $\triangle SAB$ đều nên $SH\perp AB$.

Ngoài ra, vì $(SAB)\perp(ABCD)$ nên $SH\perp(ABCD)$. Do đó $$\begin{aligned}
V_{S.ABD}&=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ABD}\cdot SH\\
&=\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot2a\right)\cdot\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}.
\end{aligned}$$

• $\triangle ABD$ vuông tại $A$, suy ra $$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt{5}.$$
• $\triangle SHD$ vuông cân tại $H$ nên $HD=a\sqrt{2}$, do đó $$SD=\sqrt{SH^2+HD^2}=\sqrt{\left(a\sqrt{3}\right)^2+\left(a\sqrt{2}\right)^2}=a\sqrt{5}.$$

Xét tam giác $SBD$ ta có

• Nửa chu vi $p=\dfrac{a\sqrt{5}+a\sqrt{5}+2a}{2}=\left(\sqrt{5}+1\right)a$.
• Theo công thức Heron thì diện tích bằng $$S=\sqrt{p(p-SB)(p-SD)(p-BD)}=2a^2.$$

Vì $V_{A.SBD}=\dfrac{1}{3}\cdot S_{SBD}\cdot\mathrm{d}\big(A,(SBD)\big)$ nên $$\mathrm{d}\big(A,(SBD)\big)=\dfrac{3V_{A.SBD}}{S_{SBD}}=\dfrac{3\cdot\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}}{2a^2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$$