Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên hợp với đáy một góc $60^\circ$. Gọi $M$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$, $N$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng $(BMN)$ chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính thể tích $V$ của khối đa diện chứa đỉnh $C$.
 | $V=\dfrac{7\sqrt{6}a^3}{72}$ |
 | $V=\dfrac{7\sqrt{6}a^3}{36}$ |
 | $V=\dfrac{5\sqrt{6}a^3}{36}$ |
 | $V=\dfrac{5\sqrt{6}a^3}{72}$ |
Chọn phương án D.
Gọi $O=AC\cap BD$, ta có $SO\perp(ABCD)$.
Trong tam giác vuông $SOC$ ta có $$\begin{aligned}
\tan\widehat{SCO}=\dfrac{SO}{CO}\Rightarrow SO&=CO\cdot\tan\widehat{SCO}\\ &=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\tan60^\circ=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.
\end{aligned}$$
Dựng $NH\perp(ABCD)$, ta có $NH\parallel SO$. Khi đó $NH$ là đường trung bình của $\triangle SOC$.
Suy ra $NH=\dfrac{1}{2}SO=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
Mặt khác, tam giác $MCB$ vuông tại $C$ và có diện tích $$S_{MCB}=\dfrac{1}{2}\cdot MC\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot2a\cdot a=a^2.$$
Vậy khối chóp $N.MCB$ có thể tích $$V_{N.MCB}=\dfrac{1}{3}\cdot S_{MCB}\cdot NH=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot\dfrac{a\sqrt{6}}{4}=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}.$$
- Gọi $K=MB\cap AD$. Vì $DK$ là đường trung bình của $\triangle MCB$ nên $\dfrac{MK}{MB}=\dfrac{1}{2}$.
- Gọi $Q=MN\cap SD$. Vì $Q$ là trọng tâm $\triangle SCM$ nên $\dfrac{MQ}{MN}=\dfrac{2}{3}$.
Ta có tỉ số thể tích $$\dfrac{V_{M.DKQ}}{V_{M.CBN}}=\dfrac{MD}{MC}\cdot\dfrac{MK}{MB}\cdot\dfrac{MQ}{MN}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}.$$
Suy ra $V_{M.DKQ}=\dfrac{1}{6}V_{M.CBN}$.
Vậy khối đa diện chứa đỉnh $C$ có thể tích $$V=\dfrac{5}{6}V_{M.CBN}=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}=\dfrac{5\sqrt{6}a^3}{72}.$$