Ngân hàng bài tập
A
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ trên cạnh $AC$ thỏa mãn $AH=\dfrac{2}{3}AC$. Đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc bằng $60^\circ$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
 | $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$ |
 | $\dfrac{a^3}{12}$ |
 | $\dfrac{a^3}{9}$ |
 | $\dfrac{a^3\sqrt{2}}{9}$ |
1 lời giải
Chọn phương án B.
Ta có $CH=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{a}{3}$.
Vì $SH\perp(ABC)$ nên $$\big(SC,(ABC)\big)=(SC,HC)=\widehat{SCH}=60^\circ.$$
Khi đó $\tan\widehat{SCH}=\dfrac{SH}{CH}$.
Suy ra $SH=CH\cdot\tan\widehat{SCH}=\dfrac{a}{3}\tan60^\circ
=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng $$V=\dfrac{1}{3}S_{ABC}\cdot SH=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{a^3}{12}.$$