Chọn phương án C.

• \(y=\left(\dfrac{\pi}{3}\right)^x\) có cơ số \(\dfrac{\pi}{3}>1\) nên đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
• \(y=\left(\dfrac{2}{\mathrm{e}}\right)^x\) có cơ số \(\dfrac{2}{\mathrm{e}}<1\) nên nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
• \(y=\log_{\tfrac{\pi}{4}}\left(2x^2+1\right)\) là hàm số chẵn nên đối xứng qua trục tung.
• \(y=\log_{\tfrac{2}{3}}x\) có cơ số \(\dfrac{2}{3}<1\) và xác định trên khoảng \((0;+\infty)\) nên nghịch biến trên khoảng \((0;+\infty)\).