Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AD=a$, $AB=2a$. Biết tam giác $SAB$ là tam giác đều và mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.
 | $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$ |
 | $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ |
 | $a\sqrt{3}$ |
 | $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ |
Chọn phương án B.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AB$. Vì tam giác $SAB$ đều và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên $SH\perp(ABCD)$.
Xét khối chóp $S.ABD$ ta có $$\begin{aligned}
V_{S.ABD}&=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ABD}\cdot SH=\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\right)\cdot SH\\
&=\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\cdot2a\cdot a\right)\cdot\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}\,\,(1)
\end{aligned}$$
- $SB=AB=2a$;
- $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=a\sqrt{5}$;
- $HD=\sqrt{HA^2+AD^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$
- Suy ra $SD=\sqrt{SH^2+HD^2}=\sqrt{\left(a\sqrt{3}\right)^2+\left(a\sqrt{2}\right)^2}=a\sqrt{5}$.
Nửa chu vi $p=\dfrac{SB+BD+DS}{2}=\big(1+\sqrt{5}\big)a$.
Áp dụng công thức Heron ta có $$S_{SBD}=\sqrt{p(p-SB)(p-SD)(p-BD)}=2a^2\,\,(2)$$
Gọi $d=\mathrm{d}\big(A,(SBD)\big)$ ta có $V_{A.SBD}=\dfrac{1}{3}\cdot S_{SBD}\cdot d$.
Suy ra $d=\dfrac{3V_{A.SBD}}{S_{SBD}}=\dfrac{3\cdot\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}}{2a^2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.