Chọn phương án B.

Vì hàm số bậc $4$ trùng phương đã cho có hệ số $a=1>0$ nên theo yêu cầu đề bài thì hệ số $b=-2m<0\Leftrightarrow m>0$.

Ta có $y'=4x^3-4mx=4x\big(x^2-m\big)$.
Cho $y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm\sqrt{m}.\end{array}\right.$

Để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ thì $$\begin{aligned}
y\big(\sqrt{m}\big)=0&\Leftrightarrow\big(\sqrt{m}\big)^4-2m\cdot\big(\sqrt{m}\big)^2+2m^4-m=0\\ &\Leftrightarrow2m^4-m^2-m=0\\ &\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}m=0&\text{(loại)}\\ m=1&\text{(nhận)}\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.