Chọn phương án D.

Giả sử phương trình $x^2+2x+3=a$ ($a\in\mathbb{R}$) có hai nghiệm $x_1,\,x_2$.
Theo định lí Vi-et ta có $x_1+x_2=-2$.
Vì vậy, để phương trình $f\big(x^2+2x+3\big)=m$ (1) có tổng các nghiệm bằng $-4$ thì (1) phải có $4$ nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ thỏa mãn $x_1+x_2=-4$ và $x_3+x_4=-4$ (2).

Đặt $t=x^2+2x+3$. Vì $-3<x<2$ nên $2<t<11$.
Kết hợp với (2), yêu cầu bài toán trở thành việc tìm $m$ sao cho đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị $f(t)$ tại $2$ điểm phân biệt $t_1,\,t_2$.

Xét hàm số $f(t)=t^4-32t^2+4$ ta có $f'(t)=4t^3-64t$.
Cho $f'(t)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}
t=0 &\notin(2;11)\\
t=-4 &\notin(2;11)\\
t=4 &\in(2;11)
\end{array}\right.$

Từ bảng biến thiên suy ra $m\in(-252;-108)$.
Vậy có $-109-(-251)+1=143$ số nguyên $m$ thỏa đề.