Chọn phương án B.

Gọi $H$ là tâm đường tròn đáy của $\left(\mathscr{N}\right)$, đỉnh $S$.

• Trường hợp 1: $I$ thuộc đoạn $SH$.
  Đặt $IH=x$ ($0<x<2$), ta có $$AH=\sqrt{IA^2-IH^2}=\sqrt{4-x^2}.$$Khi đó $SA^2=SH^2+HA^2$.
  Suy ra $12=(2+x)^2+4-x^2\Leftrightarrow x=1$ (thỏa mãn).
  Vậy $\begin{cases}SH=3\\ AH=\sqrt{3}\end{cases}\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi R^2h=\dfrac{1}{3}\pi\cdot3\cdot3=3\pi$.
• Trường hợp 2: $H$ thuộc đoạn $SI$.
  Đặt $IH=x$ ($0<x<2$), ta có $$AH=\sqrt{IA^2-IH^2}=\sqrt{4-x^2}.$$Khi đó $SA^2=SH^2+HA^2$.Suy ra $\left(2\sqrt{3}\right)^2=(2-x)^2+4-x^2\Leftrightarrow x=-1$ (loại)

Vậy thể tích khối nón là $3\pi$.