Chọn phương án C.

Xét hàm số
$f(x)=\log_3\big(x^3-6x^2+9x+y\big)-\log_2\big(-x^2+6x-5\big)$.
Ta có $\begin{aligned}[t]f'(x)&=\dfrac{3x^2-12x+9}{\big(x^3-6x^2+9x+y\big)\ln3}+\dfrac{2x-6}{\big(-x^2+6x-5\big)\ln2}\\
&=(x-3)\left[\dfrac{3x-3}{\big(x^3-6x^2+9x+y\big)\ln3}+\dfrac{2}{\big(-x^2+6x-5\big)\ln2}\right].\end{aligned}$

Xét trên tập $x\in\left[\dfrac{3}{2};\dfrac{9}{2}\right]$ ta thấy
$\begin{cases}f'(x)>0 &\text{với }x>3\\
f'(x)<0 &\text{với }x<3.\end{cases}$

Với $x=3$ thỏa mãn điều kiện.

• $f(3)=\log_3y-2$
• $f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\log_3\left(\dfrac{27}{8}+y\right)-\log_2\dfrac{7}{4}$
• $f\left(\dfrac{9}{2}\right)=\log_3\left(\dfrac{81}{8}+y\right)-\log_2\dfrac{7}{4}$

Trường hợp 1. $f(3)>0\Leftrightarrow y>9$. Suy ra phương trình $f(x)=0$ vô nghiệm.
Trường hợp 2. $f(3)=0\Leftrightarrow y=9$. Suy ra phương trình $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất $x=3$.
Trường hợp 3. $f(3)<0$ hoặc $x=3$ không thuộc tập xác định của phương trình $f(x)=0$, khi đó phương trình có nghiệm duy nhất khi $$\begin{cases}
f\left(\dfrac{3}{2}\right)<0\\
f\left(\dfrac{9}{2}\right)\ge 0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
\log_3\left(\dfrac{27}{8}+y\right)<\log_2\dfrac{7}{4}\\
\log_3\left(\dfrac{81}{8}+y\right)\ge\log_2\dfrac{7}{4}
\end{cases}\Rightarrow-7,7<y<-0,9$$
Do $y$ nguyên nên $y\in\left\{-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1 \right\}$.

Vậy số phần tử của $S$ là $8$.