Chọn phương án B.

Ta thấy $z=1$ là một nghiệm của phương trình, do đó phương trình đã cho tương đương với $(z-1)\big(z^2-2mz+m\big)=0$.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $z_3=1$. Khi đó $z_1$, $z_2$ là hai nghiệm của phương trình $z^2-2mz+m$ (*).

Ta có $\Delta'=m^2-m$ và $\begin{cases}z_1+z_2=2m\\ z_1\cdot z_2=m.\end{cases}$

• Trường hợp 1. Nếu $m>1$ ($z_1+z_2=2m>0$) ta có $\Delta'>0$ và phương trình (*) có hai nghiệm thực phân biệt dương khác $1$. Khi đó $$\begin{aligned}|z_1|+|z_2|+|z_3|=3&\Leftrightarrow z_1+z_2+1=3\\ &\Leftrightarrow2m+1=3\\ &\Leftrightarrow m=1\text{ (loại).}\end{aligned}$$
• Trường hợp 2. Nếu $m<0$ ta có $\Delta'>0$ và phương trình (*) có hai nghiệm thực phân biệt là $z_1=m+\sqrt{m^2-m}>0$ và $z_2=m-\sqrt{m^2-m}<0$. Khi đó $$\begin{aligned}|z_1|+|z_2|+|z_3|=3&\Leftrightarrow m+\sqrt{m^2-m}-m+\sqrt{m^2-m}+1=3\\ &\Leftrightarrow 2\sqrt{m^2-m}=2\\ &\Leftrightarrow m^2-m-1=0\\ &\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& m=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\ &m=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}. \end{aligned}\right.\end{aligned}$$Vì $m<0$ nên $m=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.
• Trường hợp 3. Nếu $0<m<1$ ta có $\Delta'<0$ và phương trình (*) có hai nghiệm phức $z_1=m+\sqrt{m-m^2}i$ và $z_2=m-\sqrt{m-m^2}i$. Khi đó $$\begin{aligned}|z_1|+|z_2|+|z_3|=3&\Leftrightarrow \sqrt{m^2+m-m^2}+\sqrt{m^2+m-m^2}+1=3\\ &\Leftrightarrow\sqrt{m}=1\\ &\Leftrightarrow m=1\text{ (loại).}\end{aligned}$$

Vậy chỉ có một giá trị $m=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.