Ngân hàng bài tập
S
Hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=2a$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $I$ thuộc cạnh $BC$. Khoảng cách từ $A$ tới mặt phẳng $(A'BC)$ bằng
 | $\dfrac{2}{5}a$ |
 | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$ |
 | $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$ |
 | $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$ |
1 lời giải
Chọn phương án C.
Vì $A'I\perp(ABC)$ nên $(A'BC)\perp(ABC)$.
Gọi $AH$ là đường cao $\triangle ABC$.
Ta có $AH\perp BC$. Suy ra $AH\perp(A'BC)$.
Vậy $\mathrm{d}\big(A,(A'BC)\big)=AH$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{(2a)^2}=\dfrac{5}{4a^2}$$
Suy ra $AH^2=\dfrac{4a^2}{5}$ hay $AH=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.