Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;0;10)$ và $B(3;4;6)$. Xét các điểm $M$ thay đổi sao cho tam giác $OAM$ không có góc tù và có diện tích bằng $15$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MB$ thuộc khoảng nào dưới đây?
 | $(4;5)$ |
 | $(3;4)$ |
 | $(2;3)$ |
 | $(6;7)$ |
Chọn phương án B.
Gọi $MH$ là đường cao của tam giác $OAM$.
Ta có $S_{OAM}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot MH\Leftrightarrow15=\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot MH$. Suy ra $MH=3$.
Vậy, điểm $M$ nằm trên mặt trụ có trục $OA$.
Vì tam giác $AOM$ không có góc tù nên $$\begin{aligned}
\widehat{AOM}\leq90^\circ&\Leftrightarrow\cos\widehat{AOM}\geq0\\
&\Leftrightarrow\dfrac{MA^2+MO^2-OA^2}{2MA\cdot MO}\geq0\\
&\Leftrightarrow MA^2+MO^2-OA^2\geq0\\
&\Leftrightarrow\big(MH^2+AH^2\big)+\big(MH^2+OH^2\big)-OA^2\geq0\\
&\Leftrightarrow9+AH^2+9+(10-AH)^2-100\geq0\\
&\Leftrightarrow AH^2-10AH+9\geq0\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}AH\leq1\\ AH\geq9.\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Vậy $M$ thuộc mặt trụ có trục $AH$ hoặc mặt trụ có trục $OH'$, trong đó $OH'=1$ (như hình).
Gọi $B'$ là hình chiếu của điểm $B$ trên trục $Oz$, khi đó $B'(0;0;6)$ và gần điểm $H$ hơn so với điểm $H'$.
Theo hình vẽ ta thấy tam giác $MNB$ vuông tại $N$, có $NM=9-6=3$, $NB=\mathrm{d}\big(B,Oz\big)-HM=5-3=2$.
Suy ra $MB_{\text{min}}=\sqrt{MN^2+NB^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\in(3;4)$.