Ngân hàng bài tập
S
Cho khối nón có đỉnh $S$, chiều cao bằng $8$ và thể tích bằng $\dfrac{800\pi}{3}$. Gọi $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho $AB=12$, khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng
 | $8\sqrt{2}$ |
 | $\dfrac{24}{5}$ |
 | $4\sqrt{2}$ |
 | $\dfrac{5}{24}$ |
1 lời giải
Chọn phương án C.
Ta có $V=\dfrac{1}{3}\pi r^2\cdot h\Leftrightarrow\dfrac{800\pi}{3}=\dfrac{8}{3}\pi r^2$.
Suy ra $r^2=100$ hay $r=10$.
Gọi $O$ là tâm đường tròn đáy, $I$ là trung điểm $AB$.
Xét tam giác $OAI$ vuông tại $I$, ta có $\begin{cases}
OA=r=10\\ IA=\dfrac{AB}{2}=6.
\end{cases}$
Suy ra $OI=\sqrt{OA^2-IA^2}=8$.
Dựng $OH\perp SI$, khi đó $OH\perp(SAB)$, nói cách khác $OH=\mathrm{d}\big(O,(SAB)\big)$.
Xét tam giác $SOI$ vuông tại $O$, có $OH$ là đường cao. Khi đó $$\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OS^2}+\dfrac{1}{OI^2}=\dfrac{1}{8^2}+\dfrac{1}{8^2}=\dfrac{2}{8^2}$$
Suy ra $OH^2=\dfrac{8^2}{2}$ hay $OH=4\sqrt{2}$.