Ngân hàng bài tập
S
Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương khác $1$ và các hàm số $y=a^x$, $y=b^x$ có đồ thị như hình bên.
Đường thẳng $y=3$ cắt trục tung, đồ thị hàm số $y=a^x$, đồ thị hàm số $y=b^x$ lần lượt tại $H,\,M,\,N$. Biết rằng $HM=2MN$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
 | $a^2=b^3$ |
 | $3a=2b$ |
 | $a^3=b^2$ |
 | $2a=b$ |
1 lời giải
Chọn phương án A.
Theo đề bài ta có $\begin{cases}
a^{x_M}=3\\ b^{x_N}=3
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
x_M=\log_a3\\ x_N=\log_b3.
\end{cases}$
Lại có $\begin{aligned}[t]
HM=2MN&\Leftrightarrow x_M=2\big(x_N-x_M\big)\\
&\Leftrightarrow3x_M=2x_N\\
&\Leftrightarrow3\log_a3=2\log_b3\\
&\Leftrightarrow\dfrac{3}{\log_3a}=\dfrac{2}{\log_3b}\\
&\Leftrightarrow3\log_3b=2\log_3a\\
&\Leftrightarrow\log_3b^3=\log_3a^2\\
&\Leftrightarrow b^3=a^2.
\end{aligned}$