Chọn phương án C.

Vì đồ thị $f(x)$ đi qua các điểm $A(1;1)$ và $B\left(2;\dfrac{4}{3}\right)$ nên ta có hệ $$\begin{cases}
1&=a\cdot1^3+b\cdot1^2+c\cdot1+d\\
\dfrac{4}{3}&=a\cdot2^3+b\cdot2^2+c\cdot2+d
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
a+b+c+d=1 &(1)\\
8a+4b+2c+d=\dfrac{4}{3} &(2)
\end{cases}$$
Lấy (2) trừ (1) ta được $7a+3b+c=\dfrac{1}{3}$ (3).

Ta có $f'(x)=3ax^2+2bx+c$. Vì đồ thị $f(x)$ có hai điểm cực trị $A(1;1)$ và $B\left(2;\dfrac{4}{3}\right)$ nên ta có hệ $$\begin{cases}
3a\cdot1^2+2b\cdot1+c&=0\\
3a\cdot2^2+2b\cdot2+c&=0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
3a+2b+c=0 &(4)\\
12a+4b+c=0 &(5)
\end{cases}$$
Từ (3), (4) và (5) ta có hệ $$\begin{cases}
7a+3b+c=\dfrac{1}{3}\\
3a+2b+c=0\\
12a+4b+c=0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
a=-\dfrac{2}{3}\\ b=3\\ c=-4
\end{cases}$$
Thay vào (1) ta được $d=\dfrac{8}{3}$.

Vậy $f(x)=-\dfrac{2}{3}x^3+3x^2-4x+\dfrac{8}{3}$. Suy ra $f(-1)=\dfrac{31}{3}$.