Ngân hàng bài tập
SS
Cho khối chóp tứ giác $S.ABCD$ có thể tích $V$ và đáy là hình bình hành. Gọi $N$ là điểm trên cạnh $SD$ sao cho $ND=2NS$. Một mặt phẳng chứa $BN$ và song song với $AC$, cắt $SA,\,SC$ lần lượt tại $P,\,Q$. Gọi $V'$ là thể tích của khối chóp $S.BPNQ$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
 | $\dfrac{V'}{V}=\dfrac{1}{6}$ |
 | $\dfrac{V'}{V}=\dfrac{2}{5}$ |
 | $\dfrac{V'}{V}=\dfrac{1}{3}$ |
 | $\dfrac{V'}{V}=\dfrac{1}{4}$ |
1 lời giải
Chọn phương án A.
Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $$\dfrac{V'}{V}=\dfrac{V_{S.BQN}}{V_{S.BCD}}=\dfrac{SB}{SB}\cdot\dfrac{SQ}{SC}\cdot\dfrac{SN}{SD}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{SQ}{SC}.$$
Gọi $O,\,K,\,H$ lần lượt là trung điểm $BD$, $ND$, $SO$
- Vì $PQ=(SAC)\cap(BPNQ)$ và $AC\parallel(BPNQ)$ nên $AC\parallel PQ$. Suy ra $\dfrac{SQ}{SC}=\dfrac{SH}{SO}$ (1)
- Vì $OK$ là đường trung bình $\triangle NBD$ nên $OK\parallel BN$.
- Vì $HN$ là đường trung bình $\triangle SOK$ nên $\dfrac{SH}{SO}=\dfrac{SN}{SK}=\dfrac{1}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{SQ}{SC}=\dfrac{1}{2}$.
Vậy $\dfrac{V'}{V}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{SQ}{SC}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$.