Chọn phương án B.

$\blacksquare$ Trường hợp 1: $$\begin{cases}
3^b-3>0\\ a\cdot2^b-18<0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
3^b>3\\ 2^b<\dfrac{18}{a}
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
b>1\\ b<\log_2\dfrac{18}{a}.
\end{cases}$$Theo yêu cầu đề bài, có đúng $3$ số nguyên $b$, tức là $b\in\{2;3;4\}$. Khi đó $$\begin{cases}
\log_2\dfrac{18}{a}\leq5\\
\log_2\dfrac{18}{a}>4
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
\dfrac{18}{a}\leq2^5\\ \dfrac{18}{a}>2^4
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
a\geq\dfrac{18}{2^5}\\ a<\dfrac{18}{2^4}
\end{cases}$$Vì $a$ nguyên nên $a=1$ (1).

$\blacksquare$ Trường hợp 2: $$\begin{cases}
3^b-3<0\\ a\cdot2^b-18>0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
3^b<3\\ 2^b>\dfrac{18}{a}
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
b<1\\ b>\log_2\dfrac{18}{a}.
\end{cases}$$Theo yêu cầu đề bài, có đúng $3$ số nguyên $b$, tức là $b\in\{-2;-1;0\}$. Khi đó $$\begin{cases}
\log_2\dfrac{18}{a}<-2\\
\log_2\dfrac{18}{a}\geq-3
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
\dfrac{18}{a}<2^{-2}\\ \dfrac{18}{a}\geq2^4
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
a>\dfrac{18}{2^{-2}}=72\\ a\leq\dfrac{18}{2^{-3}}=144
\end{cases}$$Vì $a$ nguyên nên $a\in\{73;74;\ldots;144\}$. Trường hợp này có $144-72=72$ số nguyên (2).

Từ (1) và (2) suy ra có $1+72=73$ số nguyên $a$ thỏa đề.