Hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $3200$cm$^3$, tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng bằng $2$. Khi tổng diện tích các mặt của hình hộp nhỏ nhất, tính diện tích mặt đáy của hình hộp.
 | $1200$cm$^2$ |
 | $120$cm$^2$ |
 | $160$cm$^2$ |
 | $1600$cm$^2$ |
Chọn phương án C.
Gọi $x$ là chiều rộng của hình hộp chữ nhật ($x>0$).
Theo đề bài thì chiều cao là $2x$ và chiều dài là $\dfrac{3200}{x\cdot2x}=\dfrac{1600}{x^2}$.
Khi đó, tổng diện tích các mặt là $$x\cdot\dfrac{1600}{x^2}+2\left(x+\dfrac{1600}{x^2}\right)\cdot2x=4x^2+\dfrac{8000}{x}$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $3$ số dương $4x^2$, $\dfrac{8000}{2x}$ và $\dfrac{8000}{2x}$ ta được $$4x^2+\dfrac{8000}{x}\geq3\sqrt[3]{4x^2\cdot\dfrac{8000}{2x}\cdot\dfrac{8000}{2x}}=60.$$
Dấu "=" xảy ra khi $$4x^2=\dfrac{8000}{2x}\Leftrightarrow8x^3=8000\Leftrightarrow x=10.$$
Khi đó, diện tích mặt đáy bằng $x\cdot\dfrac{1600}{x^2}=\dfrac{1600}{x}=160\text{cm}^3$.