Chọn phương án A.

Phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{x}{1-x}=x-m$ (1).

Với điều kiện $x\neq1$, phương trình trên trở thành $$x=(x-m)(1-x)\Leftrightarrow x^2-mx+m=0\,\,(2)$$
Theo yêu cầu đề bài thì phương trình (2) phải có $2$ nghiệm phân biệt $x_1,\,x_2$, tức là $$\Delta>0\Leftrightarrow m^2-4m>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m<0\\ m>4.\end{array}\right.$$Khi đó, theo định lý Vi-ét thì $\begin{cases}
x_1+x_2=m\\
x_1\cdot x_2=m.
\end{cases}$

Cũng theo đó, ta có tọa độ $A\big(x_1;x_1-m\big)$ và $B\big(x_2;x_2-m\big)$.

Vì $\widehat{AOB}=60^\circ$ nên $$\begin{array}{lll}
&\cos\widehat{AOB}&=\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{\left|\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\right|}{OA\cdot OB}&=\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{\left|x_1x_2+\big(x_1-m\big)\big(x_2-m\big)\right|}{\sqrt{x_1^2+\big(x_1-m\big)^2}\cdot\sqrt{x_2^2+\big(x_2-m\big)^2}}&=\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{\left|2x_1x_2-m\big(x_1+x_2\big)+m^2\right|}{\sqrt{x_1^2+\big(-x_2\big)^2}\cdot\sqrt{x_2^2+\big(-x_1\big)^2}}&=\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{\left|2m-m^2+m^2\right|}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}\cdot\sqrt{x_2^2+x_1^2}}&=\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{2|m|}{x_1^2+x_2^2}&=\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{2|m|}{\big(x_1+x_2\big)^2-2x_1x_2}&=\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{2|m|}{m^2-2m}&=\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow&m^2-2m&=4|m|\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}m^2-2m=4m\\ m^2-2m=-4m\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}m^2-6m=0\\ m^2+2m=0\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{ll}m=0 &\text{(loại)}\\ m=6\\ m=-2\end{array}\right.
\end{array}$$
Vậy có $2$ giá trị của $m$ thỏa đề.