Chọn phương án A.

Ta có $y'=4x^3-4mx=4x\big(x^2-m\big)$.

Cho $y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m\end{array}\right.$

Để hàm số có $3$ điểm cực trị thì $x^2=m>0$. Khi đó, đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị là $O(0;0)$, $A\left(\sqrt{m};-m^2\right)$, $B\left(-\sqrt{m};-m^2\right)$.

Ta có $\overrightarrow{OA}=\left(\sqrt{m};-m^2\right)$, $\overrightarrow{OB}=\left(-\sqrt{m};-m^2\right)$.

Suy ra $S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}
\sqrt{m} & -m^2\\ -\sqrt{m} & -m^2
\end{vmatrix}=\dfrac{1}{2}\left|-2m^2\sqrt{m}\right|=m^2\sqrt{m}$.

Theo yêu cầu đề bài thì $$\begin{aligned}
S_{OAB}=4\sqrt{2}&\Leftrightarrow m^2\sqrt{m}=4\sqrt{2}\\
&\Leftrightarrow\sqrt{m^5}=\sqrt{2^5}\\
&\Leftrightarrow m=2.
\end{aligned}$$