Chọn phương án D.

$f\big(f(x)\big)+1=0\Leftrightarrow f\big(f(x)\big)=-1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}f(x)=a &\in(-1;0)\\ f(x)=1\\ f(x)=b &\in(2;3)\end{array}\right.$

• Phương trình $f(x)=a \in(-1;0)$ có $2$ nghiệm phân biệt.
• Phương trình $f(x)=1$ có $2$ nghiệm phân biệt.
• Phương trình $f(x)=b \in(2;3)$ có $2$ nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình $f\big(f(x)\big)+1=0$ có $6$ nghiệm phân biệt.