Trong không gian $Oxyz$, Cho hai điểm $A(1;-3;-4)$ và $B(-2;1;2)$. Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MN=2$. Giá trị lớn nhất của $|AM-BN|$ bằng
 | $3\sqrt{5}$ |
 | $\sqrt{61}$ |
 | $\sqrt{13}$ |
 | $\sqrt{53}$ |
Chọn phương án D.
Dựng hình bình hành $BB'MN$. Khi $M,\,N$ thay đổi trên $(Oxy)$ thì điểm $B'$ di động trên mặt phẳng chứa $B$ và song song với $(Oxy)$.
Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $B(-2;1;2)$ và song song với $(Oxy)\colon z=0$. Khi đó $(Q)\colon z=2$.
Vì $BB'=NM=2$ nên $B'$ thuộc đường tròn tâm $B$ bán kính $R=2$.
Ta có $|AM-BN|=|AM-B'M|\leq AB'$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(Q)$, khi đó $H(1;-3;2)$. Vì $\triangle AHB'$ vuông tại $H$ nên $$\begin{aligned}AB'^2=AH^2+HB'^2&\leq AH^2+\big(HB+BB'\big)^2\\ &=2^2+(5+2)^2=53.\end{aligned}$$
Vậy giá trị lớn nhất của $|AM-BN|$ bằng $\sqrt{53}$. Dấu "=" xảy ra khi ba điểm $H,\,B,\,B'$ thẳng hàng và $B$ nằm giữa $H,\,B'$.