Chọn phương án B.

Từ đồ thị ta có $f\left(x\right)=x\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}
x=a &\in\left(-1;0\right)\\
x=b &\in\left(0;1\right)\\
x=2
\end{array}\right.$

Do đó $$\begin{aligned}
f\left(\cos{x}+1\right)=\cos{x}+1\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{ll}
\cos{x}+1=a &\in\left(-1;0\right)\\
\cos{x}+1=b &\in\left(0;1\right)\\
\cos{x}+1=2
\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{ll}
\cos{x}=a-1 &\in\left(-2;-1\right)\,(1)\\
\cos{x}=b-1 &\in\left(-1;0\right)\quad\,(2)\\
\cos{x}=1 &\qquad\qquad\quad\,\,(3)
\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có:

• Phương trình $(1)$ vô nghiệm
• Phương trình $(2)$ có $3$ nghiệm trên khoảng $\left(0;3\pi\right)$
• Phương trình $(3)$ có $1$ nghiệm trên khoảng $\left(0;3\pi\right)$

Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm nằm trong $\left(0;3\pi\right)$.